هوش مصنوعی مسئله ۳۵۰ ساله ریاضی را با طولانی‌ترین اثبات تاریخ حل کرد

هوش مصنوعی Anthropic طولانی‌ترین اثبات ریاضی تاریخ را ارائه کرد و قضیه آخر فرما را حل کرد

شرکت Anthropic اعلام کرده است که مدل هوش مصنوعی Claude آن، طولانی‌ترین اثبات ریاضی تاریخ را نوشته و با استفاده از آن، قضیه آخر فرما را که ۳۵۸ سال ریاضیدانان را به چالش کشیده بود، به طور رسمی اثبات کرده است.

Claude این کار را در ۱۱ روز و عمدتاً به صورت خودکار انجام داده است. حاصل کار، ۱۳ میلیون خط کد است که کامپیوتر می‌تواند آن را خط به خط بررسی کند و دیگر نیازی به اعتماد صرف به گفته ریاضیدانان نیست.

قضیه آخر فرما بیان می‌کند که نمی‌توان سه عدد صحیح مثبت را یافت که اگر هر کدام به توانی بزرگتر از ۲ رسانده شوند، مجموع دو عدد اول برابر با عدد سوم شود. پیر دو فرما این ادعا را در حاشیه کتابی در سال ۱۶۳۷ نوشت و مدعی شد که اثبات “شگفت‌انگیزی” دارد که حاشیه کتاب برای نگارش آن کوچک بوده است. سپس او درگذشت و ریاضیدانان در طول ۳۵۸ سال آینده تلاش کردند تا اثبات او را بازسازی کنند.

اثبات و بررسی: دو وظیفه متفاوت

اثبات ریاضی زنجیره‌ای از گام‌های منطقی است و اگر یکی از این حلقه‌ها شکسته شود، کل اثبات فرو می‌ریزد. یافتن یک حلقه شکسته در میان صدها صفحه استدلال متراکم، می‌تواند سال‌ها از عمر ریاضیدانان را بگیرد.

رسمی‌سازی یک اثبات به معنای ترجمه آن به زبانی به قدری دقیق و تحت‌اللفظی است که کامپیوتر بتواند هر مرحله را به طور مستقل و بدون ورود به مباحث ذهنی، تأیید کند. ریاضیدانان مدتی است که در این زمینه با مشکل مواجه بوده‌اند. جایزه‌ای در سال ۱۹۰۸ در آلمان به ارزش تقریبی ۱ تا ۲ میلیون دلار امروزی برای اولین اثبات معتبر این قضیه، تنها در سال اول ۶۲۱ ارسال نادرست دریافت کرد.

بررسی صحت یک اثبات مهم ریاضی می‌تواند سال‌ها طول بکشد. رسمی‌سازی، یعنی تبدیل استدلال ریاضی به شکلی که دستیارهای اثبات کامپیوتری مانند Lean بتوانند آن را تأیید کنند، می‌تواند کمک‌کننده باشد.

اثبات رسمی قضیه آخر فرما توسط کلود

ماه گذشته، کلود اولین اثبات رسمی قضیه آخر فرما را تکمیل کرد، یکی از… (تصویر توییت از حساب کاربری @AnthropicAI در تاریخ ۴ سپتامبر ۲۰۲۶)

اثبات اصلی در سال ۱۹۹۵ توسط اندرو وایلز، ریاضیدان بریتانیایی، ارائه شد و با پیچیدگی‌هایی همراه بود. وایلز راه‌حل خود را در ژوئن ۱۹۹۳ در سه سخنرانی اعلام کرد، اما بعدها یک بازبین ایرادی در آن یافت. او تقریباً یک سال را صرف رفع این مشکل با کمک ریچارد تیلور، دانشجوی سابق خود، کرد و در نهایت در ماه مه ۱۹۹۵، اثباتی اصلاح شده و ۱۲۹ صفحه‌ای را منتشر کرد. این اثبات بر پایه‌ی ریاضیاتی بنا شده بود که در زمان حیات فرما وجود نداشت، که دلیل اصلی تردید ریاضیدانان امروزی در مورد صحت اثبات “شگفت‌انگیز” فرما است.

کوین بازارد، ریاضیدان کالج امپریال لندن، در سال ۲۰۲۴ پروژه‌ای را برای انجام دقیقاً همان کاری که کلود انجام داد، آغاز کرد: ترجمه اثبات وایلز به Lean، زبانی که کامپیوترها می‌توانند آن را بررسی کنند. این کار نیازمند ارتشی از ریاضیدانان داوطلب است؛ طرح اولیه این پروژه ۸۶ صفحه است و بودجه آن تا سال ۲۰۲۹ تأمین شده است. کلود کل این فرآیند را در ۱۱ روز به پایان رساند.

نحوه عملکرد کلود

Anthropic در پستی مفصل‌تر توضیح داده است که تیانی پنگ، که ابزارهای رسمی‌سازی هوش مصنوعی را با تیمی در کلمبیا توسعه می‌دهد، تصمیم گرفت ببیند کلود تا چه حد می‌تواند به تنهایی پیش برود. ده‌ها عامل کلود به صورت موازی کار کردند، تعاریف را نوشتند، نتایج کوچک را اثبات کردند و آن‌ها را روی هم انباشتند، با حداقل ورودی انسانی جز راهنمایی‌های گاه‌به‌گاه مانند “اولویت‌بندی این قضیه بعدی”.

در ابتدا همه چیز روان نبود. در مراحل اولیه، عوامل مدام آنچه را که قبلاً اثبات کرده بودند فراموش می‌کردند و همکاری متوقف می‌شد. این شروع‌های نادرست هنوز حدود ۷ درصد از خطوط اثبات نهایی را تشکیل می‌دهند. ابزاری به نام Prove2Me که توسط تیم پنگ ساخته شده بود، این مشکل را حل کرد. این ابزار به هر عامل یک لیست وظایف زنده از اثبات‌های کوچکتر مورد نیاز ارائه می‌داد، بنابراین هیچ‌کس کار تکراری انجام نمی‌داد یا از مسیر منحرف نمی‌شد. همچنین فایل‌ها را سازماندهی می‌کرد تا Lean بتواند همه چیز را سریع‌تر بررسی کند و یادداشت‌های به زبان ساده از هر نتیجه نگه می‌داشت تا عوامل بتوانند از کار یکدیگر استفاده کنند و دوباره اختراع نکنند.

در پایان، کلود بیش از ۳۰,۰۰۰ قضیه پشتیبان را اثبات کرده و میلیاردها توکن مصرف کرده بود. این مدل بر اساس یک مدل تحقیقاتی کار می‌کرد که Anthropic می‌گوید تقریباً با Claude Fable 5.1، نسخه‌ای که بعداً به صورت عمومی منتشر شد، قابل مقایسه است. اثبات نهایی ۱۳ میلیون خط دارد، که بیش از پنج برابر حجم Mathlib، کتابخانه مشترکی که ریاضیدانان در حال حاضر برای این نوع کار استفاده می‌کنند. یک رمان معمولی حدود ۸۰,۰۰۰ کلمه دارد. اثبات کلود معادل ۱۶۰ رمان استدلال منطقی خالص است.

آیا این موضوع اهمیت دارد؟

بازارد، که پروژه او تا سال ۲۰۲۹ تأمین مالی شده است، اثبات کلود را بررسی کرده و آن را تأیید کرده است. او گفته است که این اثبات “قضیه را بدون هیچ فرضیه‌ای جز اصول اولیه ریاضیات اثبات می‌کند.” این با کشف ریاضیات کاملاً جدید توسط کلود، که Anthropic قبلاً در تحقیقات رمزنگاری خود در اوایل سال جاری ادعا کرده بود، متفاوت است. وایلز سه دهه پیش قضیه فرما را اثبات کرده بود؛ کلود صرفاً یک رسید قابل بررسی توسط ماشین برای آن ساخته است. این موضوع اهمیت دارد زیرا ریاضیدانان به طور فزاینده‌ای با اثبات‌های تأیید نشده، از جمله اثبات‌های نوشته شده توسط هوش مصنوعی، مواجه هستند که سریع‌تر از آن است که انسان‌ها بتوانند آن‌ها را به صورت دستی بررسی کنند. همچنین، این نوع اثبات‌ها قطعی هستند و مستعد خطاهای انسانی نیستند، که در ریاضیات بسیار مهم است.

این یک مشکل جدید نیست. اثبات قضیه کپلر با کمک کامپیوتر چهار سال طول کشید تا یک هیئت داوری بتواند به “۹۹٪ اطمینان” برسد، و اثبات قضیه پوانکاره توسط گریگوری پرلمان نیز تقریباً همین مدت طول کشید تا به طور کامل درک شود. اگر نمی‌خواهید حرف Anthropic را در مورد این موضوع بپذیرید، مجبور نیستید. اثبات کامل ۱۳ میلیون خطی در حال حاضر در GitHub موجود است و هر ریاضیدانی که وقت کافی داشته باشد می‌تواند آن را خط به خط بررسی کند.